Ольга Павлова, l_ola@mail.ru, 1 сентября 1999 г.
Часть 1. С 3 до 4 лет.
Порядковый счет и цифры
Да в общем, начали мы, как и все — считали пальчики. Порядковый счет до 10 был усвоен очень быстро к двум годам. Обозначения цифр мы знали в 1г. 4м. Выучили цифры по картинкам: кошка, собака, буква А, лошадка, цифра 3. В маленьком возрасте все равно какую информацию по картинке воспринимать — почему бы и не эту?
Можно было бы и раньше, но я ничего не знала о раннем развитии и занималась с ребенком чисто интуитивно.
Дроби
Так до 3,5 лет мы и застряли на порядковом счете, пока не начали заниматься музыкой. А по музыке ведь проходят длительности нот, и так их и называют - целая, половинка, четвертная, восьмая. Так что нам пришлось начать с дробей. Резали яблоко, рвали на части бумагу, просто рисовали — не поняла. В конце концов, доча сказала: мама, восьмая — это короткий звук — ТА, четвертинка - это один звук из двух коротких, сыграть надо нотку и успеть пропеть ТА-ТА, половинка — это когда успеваешь спеть ТА-ТА, ТА-ТА. И задумалась надолго. Я, удивленная таким ходом мыслей виду не подала и говорю: ну, а целая? Саша говорит: это в уме сосчитать трудно. Я говорю: тогда нарисуй. Рисунок был такой:
Каждая палочка — это ТА. А всего восемь ТА! — целая нота. Саша была так горда своим успехом, что два дня пыталась объяснить всему садику эту теорию дробей, впрочем, как я поняла безрезультатно.
Учительница музыки на следующем занятии тоже попыталась резать яблоко. Саша рассказала и ей о своей теории — и решили они ничего не резать, а хлопать в ладоши — один хлопок — восьмая нотка, два хлопка — четвертинка.
Оказалось, что трехлеткам гораздо проще складывать, чем делить.
Придя сложным путем к простой истине, мы решили заняться сложением.
Сложение
Дело было так. Я решила, что все равно, что складывать, лишь бы начать процесс. Предложила Саше складывать книжки. Говорю: вот две книжки, а вот еще одна. Сколько всего книжек? Получаю ответ: одна книжечка про уточек, одна про мышек и одна про петю-петушка. Приблизительно такой же ответ я получила и про чашечки: одна с домиком, одна с цветочком и одна с тетей, очень страшненькой. Тогда я поняла, что если сначала учить ребенка сложению, а потом группированию предметов по признаку, то лучше начинать складывать одинаковые вещи. Счетных палочек у нас не было, зато было детское домино, крупного размера, приблизительно 7х14 см, с точками-горошинами. Удобным оно оказалось еще и тем, что на одной карточке-домино две картинки с горошками, наглядно.
На этом "дидактическом материале" счет до двенадцати был усвоен мгновенно, минут за 15. Следующим этапом я решила показать, что можно записывать эти примеры на бумаге.
Начали мы так: я рисовала прямоугольник, делила его на две части, рисовала горошки в верхней части и в нижней части и предлагала посчитать нарисованные горошки вместе. Приговаривали мы с Сашей при этом следующее "литературное произведение": мы рисуем домино, с половинками оно, сверху ставим цифру 2, а внизу 4. Если сосчитаем вместе, то получим ровно 6! (Здесь безграничное поле для фантазии, но ребенок балдел просто от повторяющегося начала: мы рисуем домино, с половинками оно.)
Сразу же под рисунком я записывала этот пример с помощью цифр, впрочем, особенно не привлекая Сашино внимание к этому процессу, очень быстро.
Дальше с помощью тех же рисунков стали усложнять задачу: мы рисуем домино, с половинками оно, сверху ставим цифру 2, а внизу — не знаем! Сколько надо дописать, чтобы получилось 5?
Согласитесь, это уже практически уравнение! 2 + х = 5. Внизу под рисунком я так и записала, пояснив, что когда чего-то не знаем, то пишем вместо этого букву х.
Изрядно натренировавшись примерами на сложение, Саша, не задумываясь, выдает правильный ответ — 3! Значит, х=3, перевожу я.
Следующие два дня Саша развлекалась тем, что рисовала себе примеры сама - и! — внизу под рисунком записывала все цифрами! Чтобы было как по-настоящему! Не было ни одной куклы или зайчика, которые не научились бы решать примеры на сложение и уравнения.
Группирование
Боюсь, что при объяснении вычитания у меня будут такие же проблемы, как при сложении книжечек и чашечек, прежде чем объяснять тему вычитание, я решила объяснить ребенку, что такое группирование предметов по признаку.
Где-то неделя ушла у нас на то, чтобы научиться группировать предметы по признакам форма, цвет, размер и общие свойства. (Темпы не вундеркиндские, прямо скажем.) Понадобилось около 50-70 предметов (из тех, которые, безусловно, есть дома у каждого). Разложив эти предметы на диване (вернее, сложив их в кучу), мы выкладывали на стул предметы по признаку "красный", по признаку "прямоугольный", по признаку "маленький", по признаку "игрушка" и т.д. Попутно "изобрели велосипед" — придумали игру "Какой предмет лишний" по какому-нибудь признаку.
На самом деле, тема эта бесконечная, мы всю жизнь что-нибудь группируем, классифицируем по различным признакам. Позже мы стали группировать по признакам "вкус" (сладкий, горький, кислый, соленый), "запах" (есть или нет), "температура" (ледяной, холодный, теплый, горячий, обжигающий), "объем" (объемный, плоский, линейный); стали объединять в группы растения (трава, цветы, кусты, деревья), плоды (овощи, фрукты, ягоды), животных (птицы, рыбы, земноводные, млекопитающие). К четырем годам это стало одной из любимых тем. К тому же, если человек умеет группировать предметы, он и рассказать может о чем угодно. Например, Саша могла охарактеризовать медведя следующим образом: медведь — это живая природа, животное, млекопитающее, коричневого цвета, большого размера, сложной симметричной формы, объемное, теплое, дикое — живет в лесу, обычно не хищное, засыпающее на зиму. Это - именно "охарактеризовать", и совсем не значит, что стихи, сказки про мишку и нарисованный Винни-Пух прошли мимо нее, "рацио" не победило и не было такой цели совершенно.
Игра 2 — мы определяли, чем, например, кошка отличается от вороны, и чем они похожи; кроме повторения полученных знаний еще и очень развивает фантазию.
Игра 3 — кто-то загадывает предмет, а второй по признакам пытается угадать, что это.
Вычитание и деление поровну
После этого отступления рассказываю о том, как мы проходили тему "вычитание" (иногда до сих пор называем вычитание "отниманием" — ничего не поделаешь).
Можно сказать, что все прошло на "ура" и без проблем, группы были усвоены, если мы "отнимали" книжки, то их содержание при этом не пересказывалось. Все было хорошо, пока не начали отнимать конфеты с помощью классической задачки: у тебя шесть конфет, ты дала мне две, сколько у тебя осталось? Саша сказала, что так нечестно, она даст мне три конфеты, потому что так будет поровну. Пришлось согласиться. Но тут пришел с работы папа. Опять нечестно, заявила Саша, — надо и с папой поделиться. Хорошо, мы поделимся, говорю я, но пока решим задачку! — Нечестно! — заявила Саша, расплакалась и ушла к себе в комнату.
Пришлось изменять задачку так: у тебя шесть конфет, две ты дала маме, две папе, сколько у тебя осталось? Эта задачка нареканий со стороны ребенка не вызвала и быстро была решена.
Этот случай натолкнул меня на мысль, что деление поровну для трехлетки воспринимать легче, чем вычитание. Потому что это СПРАВЕДЛИВО. А когда у тебя восемь шариков, и два лопнули, то это НЕСПРАВЕДЛИВО, и поэтому такие жалостливые задачки решаться не хотят. Вычитание — это почти всегда нехорошее действие, потому что от него убытки и несправедливость. Поэтому из задачек на вычитание "на ура" проходило следующее: "Из десяти задач Саша уже решила на пятерку восемь. Сколько еще осталось решить задач на пятерку, чтобы все задачи были решены на пятерку?".
Умножение
Осталось пройти умножение, чтобы классический набор из четырех действий был в сборе.
Ничего умнее, чем "три ряда по четыре дерева" или "площадь предмета" мне в голову не приходило. На помощь пришла Саша и сказала: будем рисовать и складывать!
Вообще, с помощью рисунков дело всегда идет легче. Нарисовали те же несчастные три ряда по четыре дерева, увидели, что если сложить 4+4+4, то это как раз и будет правильным. Механизм умножения был понят, а это именно то, чего я и добивалась.
Если ребенку понятны сами процессы четырех действий и основы группирования, то с помощью рисунков он решит любую задачу из начальной школы.
Еще одна мысль, которая появилась у меня после занятий с моим ребенком: можно, конечно, научить ребенка до 4 лет решать примеры с сотнями, он поймет механизм, но не сможет себе представить, например 90 машинок. После 20 (твои пальчики и мои) для трехлетки идет "много", даже если он и знает что там дальше, понимания нет.
Часть 2. С четырех до пяти лет.
Когда Саше исполнилось четыре года, я купила учебник для 1 класса по математике. Я была очень разочарована, поскольку для моего ребенка ничего нового там не нашлось. Мы его просчитали методично весь за месяц и купили другой, для 2 класса. Тут были некоторые новые понятия, но даже с их объяснением за 2 месяца учебник был пройден (уже не так методично, по десять одинаковых задач мы не решали). После этого мы с Сашей, посовещавшись, решили больше не заниматься ерундой, а заниматься тем, чем нам будет интересно.
Сотни, десятки, единицы.
К четырем годам порядковый счет до ста был усвоен как-то сам собой, как стихи. Но понимания — что же это такое — сто — не наступило. На помощь пришел поезд дров...
В каждом вагоне по десять толстых бревен. Если в поезде 2 вагона, сколько бревен он везет? Ответ был, как всегда исчерпывающий: поезда из двух вагонов не бывает. Хорошо, говорю. Поезд из десяти вагонов. Сколько бревен в первых двух вагонах? Двадцать, — практически не задумываясь отвечает Саша. Правильно, а в трех? Включает порядковый счет, считает. Тридцать! А знаешь, как пишется тридцать? Пишу. Здорово, молодец! А в четырех? Опять включает порядковый счет, но считает про себя, чувствует подвох. Сорок! Пишу — 40. А в пяти? Задумалась Мама, я напишу, а ты скажешь, хорошо? Пишет 50! Называю — "пятьдесят". Слышишь — пять-десят, то есть пять десятков! Спрашивает: а потом — шесть-десят? Семь-десят? — Да! — Восемь-десят! Девять-десят! Десять-десят! — Но ты же считала до ста, было там девятьдесят и десятьдесят? — Нет. — А как было, вспоминай! — (считает) — девяносто! (пишет 90), (считает) — сто. А как сто писать? — показываю — Из трех цифр?! — Да! 90 — это девять десятков, а 100 — это 10 десятков!
Весь вечер ходит, притихшая, видимо, обдумывает. Утром: мама, а в двух поездах — 20 десятков, это можно написать так — 200? — Можно! — А называться будет как? — Двести, то есть две сотни. — А в трех вагонах — вот столько, тристи! — Ну, почти правильно, только не тристи, а триста.
Вот так мы за два дня "продвинулись" от счета до 20 до 1000. Конечно, ошибки еще были, в основном, с названиями чисел, но пришло главное - понимание.
В связи с изучением сотен-десятков-единиц полезно проделывать следующее
упражнение:
681 — это шесть сотен, восемь десятков и одна единица, или: шесть поездов,
восемь вагончиков на запасном пути и одно-одинокое бревнышко, которое не
поместилось. (Именно — не поместилось, а не откуда-нибудь выпало.)
То есть, несмотря на то, что все усвоено, периодически повторять, представлять.
Счет в столбик.
После того, как понимание больших чисел наступило, встал вопрос, как с ними быть, как считать задачки и примеры с сотнями. Пришлось показать, как происходит сложение и вычитание в столбик. Этой "гимнастикой" (пять примеров в столбик для разминки) мы занимаемся перед каждым занятием математикой и сейчас (не скажу, что занятия у нас происходят очень регулярно). Конечно, все подпортил папа, который со школы не в ладах с математикой, чистый гуманитарий — научил пользоваться калькулятором (разрушил волшебство - оказывается, можно быстрее, проще и не задумываясь, " и вообще, каждый дурак справится!). Но на калькуляторе мы потом проверяем, правильно ли получилось. Я считаю, что счет — это хорошее упражнение для мозгов.
Сложение и вычитание в столбик было усвоено, как и в школе, с помощью алгоритма (при сложении — три пишем, один запоминаем; при вычитании — от шести отнять восемь невозможно, займем десяток, и будем отнимать от шестнадцати). Кстати, в связи со счетом в столбик, пришлось усвоить, что такое "алгоритм" — порядок решения, последовательность действий. Я выписала алгоритм на листок, и первое время он находился перед глазами во время решения примеров.
При решении примеров в столбик возникает довольно сложная для четырехлетки задача, например, от 17 отнять 9. Применительно к этому случаю пришлось объяснить, как можно упростить этот пример.
Упрощение.
(Подразумевается, что ребенок хорошо знает состав чисел до 10.)
Дан пример: 17 — 9. Что нам просто отнять от 17? Правильно, 7. А сколько не хватает от 7 до 9? Два. Хорошо. Значит, будем отнимать не сразу девять, а сначала 7, потом 2. Пишем: 17 — 9 = 17 — 7 — 2 = 10 — 2 = 8.
Неравенства
Обычно ребенок хорошо себе представляет, какое число из двух больше, а какое меньше, если ему надлежащим образом помогли представить большие числа. Если нет — не беда, можно начать с маленьких чисел, попутно помогая представлять большие.
28 + х < 50. Решим сначала уравнение 28 + х = 50. (что надо сделать, чтобы из двух вагонов и восьми не поместившихся бревен получить пять целых вагонов? Надо добавить два целых вагона и два бревнышка в полупустом вагончике, то есть 22!). Получили х = 22. А чтобы получилось не 50, а меньше, надо сколько добавить? (задумалась) Ну, больше или меньше 22? - подбадриваю я. — Меньше! — радуется Саша. А можно вообще ничего не добавлять, все равно будет меньше! — Правильно, мы запишем х < 22. То есть если мы добавим любое число вагонов и бревнышек меньшее, чем 22 (хоть 0!), у нас получится правильное решение.
Когда освоены неравенства, можно тут же переходить к функциям. Мы этого не сделали, потому что очень увлеклись геометрией.
Геометрия
Я разделяю мнение, что лучше ребенку дать знаний больше, чем меньше. То, что ему недоступно, он не воспримет и так. Поэтому объяснения мои строились не как в школе — сначала все определения, потом какие-нибудь признаки, потом свойства по всему.
Мы брали геометрическую фигуру, например, треугольник и пытались изучить ее досконально.
Тре-угольник, значит три угла. Будем говорить, что треугольник — это плоская геометрическая фигура, у которой три угла. Что еще у нее есть? Стороны. Сколько их? Три. Как можно стороны по-другому назвать? Отрезками. Могут ли быть какие-нибудь стороны треугольника параллельными? Нет. А перпендикулярными? Да. В этом случае треугольник будет называться прямоугольным. Может ли у треугольника быть два или три прямых угла? Нет. Углы, которые меньше прямого — острые, больше прямого — тупые. Если все углы равны, то и все стороны равны и треугольник будет называться равносторонним, если два уголка равны, то и две стороны равны, и треугольник равнобедренный. Показываю, как стороны измерять линейкой, учимся рисовать разные треугольники. Может ли быть прямоугольный треугольник равнобедренным? (Да) А равносторонним? (нет). Может ли одна сторона быть больше, чем сумма двух других (нет). Даю понятие периметра, основания, высоты, площади (для этого удобнее лист в клеточку). Не дошли только до теоремы Пифагора и синусов-косинусов, хотя было бы можно. Не хотелось вводить понятия катетов, гипотенузы, квадратных чисел, а тригонометрия — все-таки еще рановато для восприятия. (По крайней мере, для моего ребенка).
Четырехугольники разбирали все вместе (квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм), искали отличия и сходства, очень помогло то, что прежде занимались группированием. Пришли к выводу, что каждый квадрат - ромб, прямоугольник и параллелограмм, но не наоборот. То есть квадрат — это пересечение множеств ромбов и прямоугольников, а прямоугольник — это часть множества параллелепипедов. Считали площадь и периметр фигур.
Опять же вместе разбирали круг и овал и поняли, что каждый круг — овал, но не наоборот. Разобрали понятия радиуса, диаметра, хорды, центра (центров).
Дальше перешли к объемным фигурам, но пока только на уровне определений - тяжеловато, так как рисовать в стереометрии мы еще не умеем.
Длинные примеры и задачки в несколько действий.
Это еще одна из тем, которую мы прошли. Объяснять здесь не пришлось ничего, кроме того, что сам процесс возможен, что можно так записывать и решать примеры и задачи по частям.
Вот, в общем, и все. Система не претендует ни на что, как, впрочем, и на свою системность. Может быть, кому-нибудь она поможет объяснить своим малышам какую-нибудь тему, если понимание не наступает по-другому. Спасибо за внимание, было очень приятно, что вы прочитали все до конца.
